Medidas de Posição

As medidas de posição permitem resumir e localizar informações centrais em distribuições de dados. Elas orientam quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal.

Principais medidas:

• Média
• Moda
• Mediana
• Separatrizes (quartis, decis, percentis)

Caso 1 - Dados não agrupados

\[\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\]

Exemplo:

Calcule o tempo médio de vida útil de 10 smartphones, sabendo que os tempos em meses são: 10, 29, 26, 28, 15, 23, 25, 17, 0, 20

\[\bar{x} = \frac{10 + 29 + 26 + 28 + 15 + 23 + 25 + 17 + 0 + 20}{10} = 19{,}3\]

dados <- c(10, 29, 26, 28, 15, 23, 25, 17, 0, 20)
mean(dados)

Caso 2 - Dados agrupados por valores

Média ponderada:

\[\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i \cdot f_i}{N}\]

pc <- c(0, 1, 2, 3, 4)
fi <- c(2, 6, 10, 12, 4)
weighted.mean(pc, fi)

Caso 3 - Dados agrupados por classes

Utilizamos o ponto médio de cada classe (\(p_i\)):

\[\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} p_i \cdot f_i}{N}, \quad p_i = \frac{L_i + L_s}{2}\]

fi <- c(50, 90, 60)
pontos_medios <- c(30, 50, 70)
media_idades <- weighted.mean(pontos_medios, fi)
media_idades

Conceito e Classificação

A moda (Mo) é o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados.

Classificação:

moda <- function(x) {
  ux <- unique(x)
  ux[which.max(tabulate(match(x, ux)))]
}
dados <- c(18, 25, 25, 14)
moda(dados)

Moda - Fórmula de King (dados agrupados)

\[Mo = L_i^* + \frac{f_{i+1}}{f_{i+1} + f_{i-1}} \cdot h^*\]

Li  <- 158
h   <- 8
fi_ <- 19
fi_anterior <- 13
fi_posterior <- 8

d1 <- fi_ - fi_anterior
d2 <- fi_ - fi_posterior

Mo_king <- Li + (d1 / (d1 + d2)) * h
Mo_king

Moda - Fórmula de Czuber (dados agrupados)

\[Mo = L_i^* + \frac{\Delta_1}{\Delta_1 + \Delta_2} \cdot h^*\]

Onde:

• \(\Delta_1 = f_i^* - f_{i-1}\)
• \(\Delta_2 = f_i^* - f_{i+1}\)

Li  <- 158
h   <- 8
fi_ <- 19
fi_anterior <- 13
fi_posterior <- 8

Delta1 <- fi_ - fi_anterior
Delta2 <- fi_ - fi_posterior

Mo <- Li + (Delta1 / (Delta1 + Delta2)) * h
Mo

\[Mo = 158 + \frac{6}{6 + 11} \cdot 8 = 158 + 2{,}82 = 160{,}8\]

Caso 1 - Dados não agrupados

A mediana (Md) é o valor que divide o conjunto em duas partes iguais.

A <- c(2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21)
B <- c(6, 8, 10, 12, 14)
median(A)
median(B)

Caso 3 - Dados agrupados por classes

\[Md = L_i^* + \frac{\frac{\sum f_i}{2} - F_i'}{f_i^*} \cdot h^*\]

n  <- 20
Li <- 4
h  <- 2
fi <- 4
Fi <- 7

Md <- Li + (((n/2) - Fi) / fi) * h
Md